Комплексні числа

Комплексні числа
Числа виду х + iy, де х і у - дійсні числа, а i - так звана уявна одиниця (число, квадрат якого дорівнює -1); х називають дійсною частиною, а у - уявної частиною К. ч. z = х + iy (позначають х = Re z, у = Im z ) . Дійсні числа (Див. Дійсне число) - окремий випадок К. ч. (При у = 0); К. ч., Які не є дійсними ( у ≠ 0), називають уявними числами; при х = 0 К.
числа виду х + iy, де х і у - дійсні числа, а i - так звана уявна одиниця (число, квадрат якого дорівнює -1); х називають дійсною частиною, а у - уявної частиною К. ч. z = х + iy (позначають х = Re z, у = Im z ) . Дійсні числа (Див. Дійсне число) - окремий випадок К. ч. (При у = 0); К. ч., Які не є дійсними ( у ≠ 0), називають уявними числами; при х = 0 К. ч. Називають чисто уявним. К. ч. z = х + iy і z = х - iy називають комплексно-сполученими. Арифметичні дії над К. ч. Виробляються по звичайних правилах дій над многочленами з урахуванням умови i 2 = - 1. Геометрично кожне К. ч. х + iy зображується точкою площині, що має прямокутні координати х і у (див. рис . ). Якщо полярні координати цієї точки позначити через r і φ :, то відповідне К. ч. Можна представити у вигляді: r (cos φ + i sin φ) (тригонометрическая, або полярна, форма К. ч.); називають модулем К. ч.

х + iy, а φ = arg z - аргументом його. Тригонометрична форма К. ч. Особливо зручна для дій піднесення до степеня і добування кореня: [r (cos φ + i sin φ)] n = r n (cos nφ + i sin n φ) , , зокрема

,

k = 0, 1, ..., n -1 За своїми алгебраїчним властивостями сукупність К.ч. утворює Поле. Це поле алгебраїчно замкнуто, т. Е. Будь-яке рівняння x n + a 1 x n-1 + ... + a n = 0; де a 1 , ..., a n - К. ч., Має (при обліку кратності) серед До ч. Точно n коренів. Уже в давнину математики стикалися в процесі вирішення деяких завдань з витяганням квадратного кореня з негативних чисел; в цьому випадку завдання вважалася нерозв'язною. Коли ж в 1-ій половині 16 ст. були знайдені формули для вирішення кубічних рівнянь (Див. Кубічне рівняння) , виявилося, що в так називається тією випадку дійсні корені рівнянь з дійсними коефіцієнтами виходять в результаті дій над К. ч. Це сприяло визнанню К. ч. перше обгрунтування найпростіших дій з К. ч. зустрічається у Р. Бомбелли в 1572. Проте довгий час до К. ч. відносилися, як до чогось надприродного. Так, Г. Лейбніц в 1702 писав: "Уявні числа - це прекрасне і чудове притулок божественного духу, майже що амфібія буття з небуттям". У 1748 Л. Ейлер знайшов чудову формулу e i φ = cosφ + isin φ, що з'явилася першим важливим результатом теорії функцій комплексного змінного, але істинний характер К. ч. з'ясувався лише до кінця 18 ст. , Коли була відкрита їх геометрична інтерпретація (див. Вище). Термін "К. ч." запропонований К. Гауссом в 1831. Введення К. ч. робить багато математичні розгляду більш одноманітними і ясними і є важливим етапом у розвитку поняття про число (див. Число). К. ч. Використовуються тепер при математичному описі багатьох питань фізики і техніки (в гідродинаміки, аеромеханіці, електротехніці, атомній фізиці і т. Д.). Основні розділи класичного математичного аналізу набувають повної ясності і закінченість тільки при використанні К.ч., чим обумовлюється центральне місце, займане теорією функцій комплексного змінного. Див. Аналітичні функції. Літ. : Маркушевич А. І., Комплексні числа і конформні відображення, 2 видавництва. , М., 1960; Курош А. Г., Курс вищої алгебри, 9 видавництво. , М., 1968. Рис. до ст. Комплексні числа. Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.