Криволінійний інтеграл

Криволінійний інтеграл
Інтеграл, взятий вздовж будь-якої кривої на площині або в просторі. Розрізняють К. і. 1-го і 2-го типів. К. і. 1-го типу виникає, наприклад, при розгляді завдання про обчислення маси кривої змінної щільності; він позначається через , де З - задана крива, ds - диференціал її дуги, a f ( P ) - функція точки на кривій, і являє собою межа відповідних інтегральних сум (див.
інтеграл, взятий вздовж будь-якої кривої на площині або в просторі. Розрізняють К. і. 1-го і 2-го типів. К. і. 1-го типу виникає, наприклад, при розгляді завдання про обчислення маси кривої змінної щільності; він позначається через

, де З - задана крива, ds - диференціал її дуги, a f ( P ) - функція точки на кривій, і являє собою межа відповідних інтегральних сум (див. Інтеграл). У випадку плоскої кривої З , заданої рівнянням у = у ( х ), К. і. 1-го типу зводиться до звичайного інтеграла за формулою:

К. і. 2-го типу виникає, наприклад, при розгляді завдання про роботу силового поля; в разі плоскої кривої З він має вигляд:

і є також межею відповідних інтегральних сум. К. і. 2-го типу зводиться до звичайного інтеграла за формулою:

, де х = x ( t ) , у = у ( t ) (α ≤ t ≤ β) - рівняння кривої З в параметричної формі, і до К. і. 1-го типу за формулою:

; тут α - кут між віссю Ox і дотичної до кривої, спрямованої в бік зростання дуги. Аналогічно визначається К. і. 2-го типу в просторі. Про К. і. 2-го типу з векторної точки зору див. Векторне числення. Нехай D - деяка область і З - її межа.При деяких умовах між К. і. по кривій З і подвійним інтегралом по області D (див. Кратний інтеграл) має місце співвідношення:

(див. Гріна формули) , а між До . і. і поверхневим інтегралом (Див. Поверхневий інтеграл) - співвідношення:

(див. Стокса формула). Особливо велике значення К. і. придбали в теорії функцій комплексного змінного (див. Аналітичні функції). К. і. мають широке застосування в різних областях механіки, фізики і техніки. Літ. : см. при статтях Інтегральне числення, Інтеграл.

Велика радянська енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.